Question

设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有______．①ab≤1； ②a+b≤2； ③a2+b2≥2

设a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式恒成立的有______．①ab≤1； ②a+b≤2； ③a2+b2≥2．

Answer 1

∵a＞0，b＞0，a+b=2，
∴a+b=2≥2

ab

，即ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故①正确；
∵（

a

+

b

）²=a+b+2

ab

=2+2

ab

≤4，当且仅当a=b=1时取等号，
∴

a

+

b

≤2，故②不正确；
∵4=（a+b）²=a²+b²+2ab≤a²+b²+2，当且仅当a=b=1时取等号，
∴a²+b²≥2，故③正确，
∴不等式恒成立的有①③．
故答案为：①③．