Question

初三数学题（圆综合压轴题）

在⊙O中，AB为⊙O直径，PC经过⊙O，C为AB的延长线，

PD：DC=2：3，过P作AB垂线交于点F，连接OD交PF于点E，连接CE，

Q为⊙O上一点，连接OQ、EQ、QP，OC=5，DC=3，
EC为∠PCA的角平分线且FC=CD

（1）求⊙O半径

（2）当∠QOD=90°时，AB上有一点G，求PG+QG的最小值

（3）S△PQE是否存在最大值？若存在，请写出S△PQE的最大值，若不存在，请说明理由

Answer 1

如图，作QM垂直AB交圆O于Q',连结PQ'交AB于G,连结GQ，作Q'N垂直PF，作DH垂直AB，垂足分别为N、H。

解：(1)因为PD：DC=2：3，FC=DC=3，所以PD=2，PC=5，又OC=5，因此PC=OC=5，又知EC是角PCO的平分线，所以角PCE=角OCE，可得三角形PCE全等三角形OCE,因此角EPC=角EOC,又角PED=角OEF，角OFE=90度，所以角EPC+角PED=90度，因此角PDO=90度，所以OD垂直PC,PC是圆O切线，可得DC的平方=CAXCB,设圆O的半径为R,则3的平方=（5+R）X（5-R）,解得R=4。

（2）因为OQ=OD,角DOQ=90度，所以角MOQ=角ODH,角QMO=角OHD=90度，所以三角形QMO全等三角形OHD,又ODXDC=OCXDH,所以4X3=5XDH,得DH=12/5，OM=DH=12/5，

OF=5-3=2,MF=Q'N=22/5，FN=OM=QM=根号下4的平方-（12/5）的平方=16/5,

所以PG+QG=PG+Q'G=PQ'=根号下（16/5+4）的平方+（12/5+2）的平方=2/5根号下445，

因此PG+QG的最小值是2/5根号下445。

（3）当Q与A重合时，三角形PQE面积最大值是1/2XPEXAF=1/2X5/2X6=15/2

由内角平分线定理可得PC：FC=PE：EF,所以5:3=PE：（4-PE），解得PE=5/2

Answer 2