Question

已知函数f（x）=2ax-1x-（2+a）lnx（a≥0）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）

已知函数f（x）=2ax-1x-（2+a）lnx（a≥0）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（2，3），x1，x2∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f(x)＝?

1

x

?2lnx?f、(x)＝

1

x2

?

2

x

＝

1?2x

x2

(x＞0)…（2分）
由f、(x)＝

1?2x

x2

＞0，解得x＜

1

2

，可知f（x）在（0，

1

2

）上是增函数，在（

1

2

，+∞）上是减函数．…（4分）
∴f（x）的极大值为f(

1

2

)＝2ln2?2，无极小值．…（5分）
(2)f(x)＝2ax?

1

x

?(2+a)lnx?f、(x)＝2a+

1

x2

?(2+a)

1

x

＝

2ax2?(2+a)x+1

x2

．①当0＜a＜2时，f（x）在（0，

1

2

）和(

1

a

，+∞)上是增函数，在(

1

2

，

1

a

)上是减函数；…（7分）
②当a=2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；                  …（8分）
③当a＞2时，f（x）在(0，

1

a

)和(

1

2

，+∞)上是增函数，在(

1

a

，

1

2

)上是减函数  （9分）
（3）当2＜a＜3时，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴|f(x1)?f(x2)|≤f(3)?f(1)＝4a?(2+a)ln3?

4

3

．…（10分）
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|对任意的a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max…（11分）
即(m?ln3)a?2ln3＞4a?(2+a)ln3?

4

3

对任意2＜a＜3恒成立，
即m＞4?

4

3a

对任意2＜a＜3恒成立，…（12分）
由于当2＜a＜3时，

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10

3

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