Question

如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD． （1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由

Answer 1

解：（1）四边形BEDF是菱形．
在△DOF和△BOE中，
∠FDO=∠EBO=，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，
所以△DOF≌△BOE，
所以OE=OF．
又因为EF⊥BD，OD=OB，
所以四边形BEDF为菱形． （5分）

（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，
则DO=10，EO=7.5．
由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．
S菱形EBFD= 12EF•BD=BE•AD，
即 12×20×15=252×AD
所以得AD=12．
根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．
由2（AB+AD）=2（16+12）=56，
故矩形ABCD的周长为56． （10分）

Answer 2

四边形BEDF是菱形。
首先，连接BD，做BD的垂直平分线，得EF使的EF与BD的交点O到BD点
要使点B与点D重合，则折痕EF⊥BD，且OB=OD= 1/2BD，
AB=6,BC=8 得到BD=10
sin角BDA=A/BD=6/10=3/5
则cos角BDA=4/5
即tan角BDA=EO/OD=3/4 OD=BD/2=5
得EO=15/4
所以，EF=15/2，FO=15/4
在Rt△DOE与Rt△BOF中，
∠DOE=∠BOF=90°
所以，DE=BF= 25/4,且DE//BF
又，在Rt△DOE与Rt△BOE中，
∠DOE=∠BOE=90°
所以，DE=BE= 25/4
在四边形BEDF中：DE=BF= 25/4,且DE//BF，DE=BE= 25/4
根据菱形判定定理： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
因此，四边形BEDF是菱形

Answer 3

设EF交BD于O
∵ 四边形ABCD为矩形
∴＜EBO=＜FDO
∵EF垂直平分BD
∴Rt△EBO≌Rt△FDO
∴EO=FO
又∵DO=BO 且EF⊥BD
∴四边形BEDF是菱形