Question

如图，?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E．若?ABCD的周长为18，△AOB的周

如图，?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E．若?ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，则OE=______．

Answer 1

解：延长AE交BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AE⊥BE，
∴AE=EF，
∴OE是△AFC的中位线，
∵?ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，
∴AB=3，AD=6，
∴CF=BC-BF=AD-AB=3，
∴OE=

1

2

CF=

3

2

，
故答案为：

3

2

．