Question

数学分析习题，求高手解答，在线苦等

问题详见图片

Answer 1

1.∫[0,1]ln(1+x)/(1+x²)dx=∫[0,1]ln(1+x)darctanx
令t=arctanx-π/8，则x=tan(t+π/8)
那么原式=∫[-π/8,π/8]ln(1+tan(t+π/8))dt
=∫[-π/8,π/8]ln((sin(t+π/8)+cos(t+π/8))/cos(t+π/8))dt
=∫[-π/8,π/8]ln(√2sin(t+3π/8)/cos(t+π/8))dt
=∫[-π/8,π/8]ln√2dt+∫[-π/8,π/8]ln(sin(t+3π/8)/cos(t+π/8))dt
=πln2/8+∫[-π/8,π/8]ln(sin(t+3π/8)/cos(t+π/8))dt
令f(t)=ln(sin(t+3π/8)/cos(t+π/8))，
则f(-t)=ln(sin(-t+3π/8)/cos(-t+π/8))=ln(cos(t+π/8)/sin(t+3π/8))=-f(x)
∴f(t)是奇函数，即∫[-π/8,π/8]ln(sin(t+3π/8)/cos(t+π/8))dt=∫[-π/8,π/8]f(t)dt=0
于是原式=πln2/8

2.不妨设f(x)在x=s处取到极值点(0<s<1)，那么f(s)=1/4，f'(s)=0
在点x=s处应用泰勒展开式得到
f(x)=f(s)+f'(s)(x-s)+(1/2)f''(ξ)(x-s)²=1/4+(1/2)f''(ξ)(x-s)²，其中ξ介于x和s之间。
注意到|f''(x)|<1，即-1<f''(ξ)<1，代入上式即得
1/4-(1/2)(x-s)²≤f(x)≤1/4+(1/2)(x-s)²
∴|f(x)|≤1/4+(1/2)(x-s)²
分别取x=0,1得到
|f(0)|≤1/4+(1/2)s²<1/4+(1/2)s
|f(1)|≤1/4+(1/2)(1-s)²<1/4+(1/2)(1-s)
两式相加即得证

3.此题直接用初等方法证明即可
对等式变形可得√(x+1)+√x=2√(x+θ(x))
平方化简即得θ(x)=(1/4)+(-x+√(x(x+1)))/2
而显然0<(-x+√(x(x+1)))/2<1/4
故1/4<θ(x)<1/2

4....不好意思，多元函数微分学我还没学，请谅解。。。。

Answer 2

尼玛，蛋疼的微积分！！！