Question

设函数f(x)=a-2/(2^x+1) 1.求证：不论a为何实数f(x)总是增函数 2 确定a的值，使f(x)为奇函数及此时f(x)

设函数f(x)=a-2/(2^x+1) 1.求证：不论a为何实数f(x)总是增函数 2 确定a的值，使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域

Answer 1

证明：
(1)
【用定义法证明函数的单调性】
任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]
＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵y＝2^x在(－∞，＋∞)上递增，而x1＜x2
∴2^x1＜2^x2
∴(2^x1)－(2^x2)＜0
又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数

(2)
f(x)为奇函数，则f(0)＝a－[2/(2^0＋1)]＝a－1＝0
∴a＝1
经检验，a＝1时，f(x)是奇函数.

(3)
由(2)知：
f(x)＝1－[2/(2^x＋1)]
∵(2^x)＋1＞1
∴0＜1/[(2^x)＋1]＜1
∴0＜2/[(2^x)＋1]＜2
∴－1＜1－[2/(2^x＋1)]＜1
∴f(x)∈(－1，1)

Answer 2

(1)（应该是这样）
【用定义法证明函数的单调性】
任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]
＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]
∵y＝2^x在(－∞，＋∞)上递增，而x1＜x2
∴2^x1＜2^x2
∴(2^x1)－(2^x2)＜0
又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数

(2)
f(x)为奇函数，则f(0)＝a－[2/(2^0＋1)]＝a－1＝0
∴a＝1
经检验，a＝1时，f(x)是奇函数.

(3)
由(2)知：
f(x)＝1－[2/(2^x＋1)]
∵(2^x)＋1＞1
∴0＜1/[(2^x)＋1]＜1
∴0＜2/[(2^x)＋1]＜2
∴－1＜1－[2/(2^x＋1)]＜1
∴f(x)∈(－1，1)