Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）若AB=4，AC=5，DM=1，求DE的长度．

Answer 1

（1）证明：连接BE、OE，则
∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，
又∵D是BC的中点，
∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四点共圆；
（2）解：延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE²=DM?DH=DM?（DO+OH）=DM?DO+DM?OH．
∵OH=

1

2

AB，OD为△ABC的中位线，得DO=

1

2

AC，
∴2DE²=DM?AC+DM?AB．
∵AB=4，AC=5，DM=1，
∴DE2＝

9

2

，DE＝

3 2

2

．