Question

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-34x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-34x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），
∴0=4k-3，
解得：k=

3

4

，
∴直线解析式为y=

3

4

x-3，
由直线y=

3

4

x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3），
∴-

3

4

×4²+4m-3=0，
解得m=

15

4

，
∴抛物线的解析式为y=-

3

4

x²+

15

4

x-3；

（2）对于抛物线y=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
令y=0，则0=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
解得：x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，AO=4，CO=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t，
①若∠Q₁P₁A=90°，则P₁Q₁∥CO，
∴△AP₁Q₁∽△AOC，
∴

AP1

AO

=

AQ1

AC

，
∴

3?t

4

＝

5?2t

5

，
解得：t=

5

3

；
②若∠Q₂P₂A=90°，∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△ACO，
∴

AP2

AC

=

AQ2

AO

，
∴

3?t

5

＝

5?2t

4

，
解得：t=

13

6

；
综上：当t的值为

5

3

或

13

6

时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似；

（3）存在，
如备用图：过D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F，
∴S_△ADF=

1

2

DF?AE，S_△CDF=

1

2

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