Question

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于D

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。

Answer 1

你好！
设抛物线方程为y^2=2px(p>0),①则它的顶点为O(0,0),焦点F为（p/2,0),
设过F的直线为x=my+p/2,②与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),
把②代入①，y^2-2mpy-p^2=0,
y1+y2=2mp,y1y2=-p^2,③
x1=y1^2/(2p),
∴2x1y2+py1=y1^2*y2/p+py1=y1[y1y2/p+p]=0,
OA:y=(y1/x1)x交准线：x=-p/2于点D(-p/2,-py1/(2x1)),
∴DB的斜率=[y2+py1/(2x1)]/(x2+p/2)=0，
由③，y2≠0，
∴直线DB平行抛物线的对称轴（x轴）。

或用下面的方法
设抛物线焦点为F，A、B到准线距离分别为p,q
则：AF=p,BF=q
作AN⊥准线于N,BD⊥准线于M,连AD，交x轴于O1,
设FO1=a
则：|FO1|/|BD|=|AF|/|AB|
即：|FO1|/q=p/(p+q)
|FO1|=pq/(p+q)

|DO1|/|AN|=|BF|/|AB|
即：|DO1|/p=q/(p+q)
|DO1|=pq/(p+q)
所以：|DO1|=|FO1|
所以，O1与O重合

所以，AO连线与准线的交点B，满足AB⊥准线
即：直线DB平行于抛物线的对称轴