Question

如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，若AG=6，BE:EC=1:2

1、如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，若AG=6，BE:EC=1:2，求证CG∥AF.
2、如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD,点M、N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由。

Answer 1

第一题：
∵ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6、∠B＝∠D＝90°。
∵BE∶EC＝1∶2、BC＝BE＋EC＝6，∴BE＝2、EC＝4。
由AB＝AG、AE＝AE、∠ABE＝∠AGE＝90°，得：Rt△ABE≌Rt△AGE，∴BE＝GE＝2。
由AD＝AG、AF＝AF、∠ADF＝∠AGF＝90°，得：Rt△ADF≌Rt△AGF，∴DF＝GF，
∴CF＝CD－DF＝6－DF。

由勾股定理，有：EF^2＝EC^2＋CF^2，∴（GE＋GF）^2＝16＋（6－DF）^2，
∴（2＋DF）^2＝（6－DF）^2＋16，
∴［（2＋DF）＋（6－DF）］［（2＋DF）－（6－DF）］＝16，
∴8（2DF－4）＝16，∴DF－2＝1，∴DF＝3，∴GF＝CF＝3，
∴∠FCG＝∠FGC，∴∠FCG＝（180°－∠CFG）/2。
又Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠DFA＝∠GFA＝∠DFG/2＝（180°－∠CFG）/2。
由∠FCG＝（180°－∠CFG）/2、∠DFA＝（180°－∠CFG）/2，得：∠FCG＝∠DFA，
∴CG∥AF。

第二题：
MN、ND、DH三者的数量关系是MN^2＝ND^2＋DH^2。　证明如下：
∵△ADH是由△ABM绕点A旋转得到，∴∠DAH＝∠BAM、∠ADH＝∠ABM、AH＝AM。
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，而∠BAM＝∠DAH，
∴∠DAH＋∠DAN＝45°，∴∠HAN＝45°。
由AH＝AM、AN＝AN、∠HAN＝∠MAN＝45°，得：△HAN≌△MAN，∴HN＝MN。
∵∠BAD＝90°、AB＝AD，∴∠ABM＝∠ADN＝45°，∴∠ADH＝∠ABM＝45°，∴∠HDN＝90°，
∴由勾股定理，有：HN^2＝ND^2＋DH^2，∴MN^2＝ND^2＋DH^2。