Question

1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．若AG=6，BE:EC=1:2，求证CG||AF
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

(1)解：AG=AB  AE=AE  ∴RT△ABE≅RT△AGE

∴∠BAE=∠GAE

同理∠DAF=∠GAF

∴∠DAF+∠BAE=∠GAF+∠GAE=90°/2=45°

即∠EAF=45°

延长AG交BC于H.

BC=AG=6    BE/EC=1/2  ∴BE=2=EG

设GH= x   EH=y

在RT△ABH中：((6+x)^2)=(6^2)+((2+y)^2)

 在RT△EGH中：(y^2)=(x^2)+(2^2)

x=3/2  y=5/2

∴CH=EC-y=4-5/2=3/2=GH

∴∠HGC=∠HCG=1/2•∠GHE

AD∥BC  ∴∠GHC=∠DAH

∴∠HGC=1/2•∠DAH=∠FAG   ∴CG∥AF

(2)∠MAN=45°  ∠BAD=90°

∴∠BAM+∠DAN=90°-45°=45°

∠DAH=∠BAM  ∴∠DAH+∠DAN=45°

AH=AM  AN=AN  ∴△AMN≅△AHN

∴MN=NH

∠ADH=∠ABM=∠ADN=45°

∴∠NDH=90°

∴(NH^2)=(DN^2)+(HD^2)=(MN^2)(其实就是(MN^2)=(BM^2)+(DN^2))