Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，点D是BC边的中点，连接DE．

（1）请判断DE与⊙O是怎样的位置关系？请说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，DE=3，求AE的长．
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Answer 1

1、DE切圆O于E
证明：
∵AB为直径，E为圆O上一点
∴BE⊥AC
∵D为BC中点
∴BD＝DE＝CD
∴∠DEB＝∠DBE
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB
∵∠ABC＝90
∴∠OBE+∠DBE＝90
∴∠DEB+∠OEB＝90
∴OE⊥DE
∴DE切圆O于E
2、解
∵圆半径为4
∴AO＝BO＝4
∴AB＝8
∵DE＝3
∴BD＝CD＝3
∴BC＝6
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（64+36）＝10
∵BE⊥AC，AB⊥BC，∠A＝∠A
∴△ABC相似于△BEA
∴AE/AB＝AB/AC
∴AE/8＝8/10
∴AE＝6.4

Answer 2

连接OE OD
DE与圆相切。因为0是AB中点，D是BC中点，所以OD是三角形ABC的中位线，
OD平行AC，所以，角BAC=BOD 角AEO=EOD
因为OA=OE，所以，角BAC=BOD =角AEO=EOD
因为，OE=OB，OD=OD
所以，三角形OED全等三角形OBD，SAS，
所以，角OED=角OBD=90度，所以相切。

连接BE
半径是4，AB=8 ED=3 所以，OD=5 OD=1/2AC，所以AC=10
三角形AEB相似与三角形ABC
所以，AE：AB=AB：AC
所以，AE=6.4

Answer 3

相切，做OD,OE连线，∠A=∠AE0=∠DOE，∠A=∠BOD(OD平行于ac)，推出∠doe=∠bod，两边一夹角，两三角形全等，所以∠B=∠OED=90，故相切
过o作ae垂线交ae于f，DE=BD=DC=BC/2 BC=6 AB=8 AC=10 COS∠A=4/5
af=oa*COS∠a=4*4/5 =3.2 AE=2*AF=6.8

Answer 4

（1）相切，连接OD,OE，BE,则BE垂直于AC，在RT三角形BCE中BD=DE=DC，又OB=OE，所以△OBD全等于△OED，又角OBD=90°所以OE垂直于ED
（2）AB=2R=8，BC=2DE=6,所以AC=10.

追问

（2）求AE啊