在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c 若1+tanA/tanB=2c/b,则角A的大小
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方法一:初中方法
过C作CD⊥AB交AB于D。
由锐角三角函数定义,有:tanA=CD/AD、tanB=CD/BD。
依题意,有:1+(CD/AD)/(CD/BD)=2(AD+BD)/AC,
∴1+BD/AD=2(AD+BD)/AC,∴(AD+BD)/AD=2(AD+BD)/AC。
显然,AD+BD>0,∴1/AD=2/AC,∴AC=2AD,结合CD⊥AD,得:∠A=60°。
方法二:高中方法
∵1+tanA/tanB=2c/b,∴结合正弦定理,容易得出:1+tanA/tanB=2sinC/sinB,
∴tanA+tanB=2sinC/sinB]tanB, ∴sinA/cosA+sinB/cosB=2sinC/cosB,
∴(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAcosB)=2sinC/cosB,
∴sin(A+B)/cosA=2sinC, ∴sin(180°-C)/cosA=2sinC, ∴sinC/cosA=2sinC,
显然,sinC>0,∴1/cosA=2,∴cosA=1/2,∴∠A=60°。
过C作CD⊥AB交AB于D。
由锐角三角函数定义,有:tanA=CD/AD、tanB=CD/BD。
依题意,有:1+(CD/AD)/(CD/BD)=2(AD+BD)/AC,
∴1+BD/AD=2(AD+BD)/AC,∴(AD+BD)/AD=2(AD+BD)/AC。
显然,AD+BD>0,∴1/AD=2/AC,∴AC=2AD,结合CD⊥AD,得:∠A=60°。
方法二:高中方法
∵1+tanA/tanB=2c/b,∴结合正弦定理,容易得出:1+tanA/tanB=2sinC/sinB,
∴tanA+tanB=2sinC/sinB]tanB, ∴sinA/cosA+sinB/cosB=2sinC/cosB,
∴(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAcosB)=2sinC/cosB,
∴sin(A+B)/cosA=2sinC, ∴sin(180°-C)/cosA=2sinC, ∴sinC/cosA=2sinC,
显然,sinC>0,∴1/cosA=2,∴cosA=1/2,∴∠A=60°。
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正弦线定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
1+tanA/tanB=2c/b整理得:sinA*cosB/(cosA*sinB)=(2c-b)/b=(2sinC-sinB)/sinB
将等式两边同乘以cosA*sinB得
sinA*cosB=cosA(2sinC-sinB)=2cosAsinC-cosA*sinB
即sinA*cosB+cosA*sinB=2cosAsinC
等式左边积化和差 :sin(A+B)=2cosAsinC
∵A+B+C=180 ∴sin(A+B)=sin(180-c)=sinC
∵等号右边=2cosAsin
∴2cosA=1
∴cosA=1/2
∴角A=60度(三角形内角)
1+tanA/tanB=2c/b整理得:sinA*cosB/(cosA*sinB)=(2c-b)/b=(2sinC-sinB)/sinB
将等式两边同乘以cosA*sinB得
sinA*cosB=cosA(2sinC-sinB)=2cosAsinC-cosA*sinB
即sinA*cosB+cosA*sinB=2cosAsinC
等式左边积化和差 :sin(A+B)=2cosAsinC
∵A+B+C=180 ∴sin(A+B)=sin(180-c)=sinC
∵等号右边=2cosAsin
∴2cosA=1
∴cosA=1/2
∴角A=60度(三角形内角)
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