Question

一道初中数学几何题

如图所示，三角形ABC是正三角形，D是BC的中点，P是在AC上的动点。连接PD和PB得到三角形PBD。请求出并三角形PBC周长的最小值并证明。
求思路，求详细思路。。。
如图。。

Answer 1

解:估计楼主想求三角形PBD周长的最小值,而题目中却没有给出边长,在此就设BC=2m吧。
取点B关于AC的对称点B’，连接AB’和CB’，则⊿AB’C也是等边三角形；
连接B'D交AC于P,则此时⊿PBD的周长最小. 作B'H垂直BC的延长线于H.
∵∠BCA=∠ACB'=60°.
∴∠B'CH=60°,∠CB'H=30°,CH=B'C/2=AC/2=m,B'H²=B'C²-CH²=3m².
则:PB+PD+BD=PB'+PD+BD=B'D+BD=√(DH²+B'H²)+m=√(4m²+3m²)+m=(√7+1)m.
【若想证明此时⊿PBD的周长最小，可在AC上另取P'(异于点P),连接P'B,P'D,P'B'.
由于BD=BD,只要证明出:PB+PD<P'B+P'D即可!
点B'与B关于AC对称,则PB=PB',P'B=P'B'.
∴PB+PD=PB'+PD=B'D;
P'B+P'D=P'B'+P'D.
根据"两点之间线段最短"可知:B'D<P'B'+P'D,即PB+PD<P'B+P'D.得证.】

Answer 2

过点C作BCE 使得<BCA=<ACE AC 为<BCE的角平分线
作点D关于AC的对称点F 连接使得 B，P，F在一条直线上
BP/sin60=BC/sin105 BP=BCsin60/sin105
BD/sin75=PD/sin60 PD=BDsin60/sin75
BP+PD=BCsin60/sin105+BDsin60/sin75
则BD+BP+PD的最小值=BD+BDsin60/sin75+2BDsin60/sin105

Answer 3

你可能是忙中出错了！是求△PBD周长的最小值吧。　　若是这样，则：
∴△PBD的周长的最小值是△ABC边长的［（1＋√7）/2］倍。　　证明如下：

∵△ABC是给定的等边三角形，∴BC是定值，而D是BC的中点，∴BD是定值。
∴要使△PBD的周长最小，只需要PB＋PD最小就可以了。

过D作DE⊥AC交AC于E，延长DE至F，使DE＝EF，连结BF交AC于一点，这点就是P。
∵CE⊥DF、DE＝EF，∴CE是DF的垂直平分线，∴PE是DF的垂直平分线，∴PD＝PF，
∴PB＋PD＝PB＋PF＝BF。

在AC上，除P外的另一点M，都能使B、M、F构成三角形。
∵AC是BF的垂直平分线，∴MD＝MF。
∴由三角形两边之和大于第三边，有：MB＋MD＝MB＋MF＞BF。
∴BF与AC的交点P能使PB＋PD最小，即能使△PBD的周长最小。

过F作FG⊥BC交BC的延长线于G。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60。
∵CD是BF的垂直平分线，∴CF＝CD＝BC/2、∠ACF＝∠ACB＝60°，∴∠FCG＝60°，
∴CG＝CF/2＝BC/4、FG＝√3CG＝√3BC/4。

∴由勾股定理，有：
BF＝√（BG^2＋FG^2）＝√［（BC＋CG）^2＋（√3BC/4）^2］
＝√［（BC＋BC/4）^2＋（√3BC/4）^2］＝√［（1＋1/4）^2＋3/16］BC＝（√7/2）BC。
∴此时，△PBD的周长＝BD＋PB＋PD＝BD＋BF＝BC/2＋（√7/2）BC＝（1＋√7）BC/2。

∴△PBD的周长的最小值是△ABC边长的［（1＋√7）/2］倍。

Answer 4

三角形PBC周长的最小值是当P为AC的1/4时,

Answer 5

首先说，你的问题出错了，应是求PBD周长的最小值。
第一步，做D点关于AC的对称点E，连接BE与AC的交点F为所求点。
第二步说明，在AC上任取异于F的点H，连接BH、EH，由三角形两边之和大于第三边，可知，F点为所求。

Answer 6

鹅鹅鹅