二次函数的知识点，要详细的！
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专题一：二次函数的图象与性质
本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.
考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=- ，顶点坐标是（- ， ）.
例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数 的图像交于点 ．
（1）求 、 的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
考点2.抛物线与a、b、c的关系
抛物线y=ax2+bx+c中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=- 的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
例2 已知 的图象如图1所示，则 的图象一定过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
考点3.二次函数的平移
当k>0（k<0）时，抛物线y=ax2+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向右（或向左）平移|h|个单位得到.
例3 把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2
专题练习一
1.对于抛物线y= x2+ x ，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）
C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）
2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时，y的最大值为-4
D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）
3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.
4.小明从图2所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面五条信息：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
专题复习二：二次函数表达式的确定
本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.
考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园 ，设 边长为 米，则菜园的面积 （单位：米 ）与 （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量 的取值范围）．
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；
3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x） C.y=a（1-x2） D.y=a（1-x）2
2.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO= ，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．
3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，
求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点 ， ， ．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
专题三：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
例1 根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量 与函数值 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解 的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
A． B．
C． D．
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
专项练习三
1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.
2.已知二次函数 的部分图象如图2所示，则关于 的一元二次方程 的解为 ．
3.已知函数 的图象如图3所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ）
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根
4. 二次函数 的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根．
（2）写出不等式 的解集．
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
专题四：利用二次函数解决实际问题
本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.
解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.
例 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
专题训练四
1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.
考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=- ，顶点坐标是（- ， ）.
例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数 的图像交于点 ．
（1）求 、 的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
考点2.抛物线与a、b、c的关系
抛物线y=ax2+bx+c中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=- 的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
例2 已知 的图象如图1所示，则 的图象一定过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
考点3.二次函数的平移
当k>0（k<0）时，抛物线y=ax2+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向右（或向左）平移|h|个单位得到.
例3 把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2
专题练习一
1.对于抛物线y= x2+ x ，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）
C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）
2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时，y的最大值为-4
D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）
3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.
4.小明从图2所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面五条信息：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
专题复习二：二次函数表达式的确定
本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.
考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园 ，设 边长为 米，则菜园的面积 （单位：米 ）与 （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量 的取值范围）．
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；
3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x） C.y=a（1-x2） D.y=a（1-x）2
2.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO= ，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．
3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，
求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点 ， ， ．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
专题三：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
例1 根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量 与函数值 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c,为常数）的一个解 的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
A． B．
C． D．
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
专项练习三
1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.
2.已知二次函数 的部分图象如图2所示，则关于 的一元二次方程 的解为 ．
3.已知函数 的图象如图3所示，那么关于 的方程 的根的情况是（ ）
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根
4. 二次函数 的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根．
（2）写出不等式 的解集．
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
专题四：利用二次函数解决实际问题
本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.
解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.
例 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
专题训练四
1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
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