Question

已知函数y=f(x)定义在实数集上，且对任意xy属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),又对任意的X>零都有f(x)<0,f(3)=...

已知函数y=f(x)定义在实数集上，且对任意xy属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),又对任意的X>零都有f(x)<0,f(3)=-3.判断函数y=fx)的奇偶性；证明函数y=f(x)在R上是单调减函数；并求在[m,n]值域

Answer 1

令x=3，y=0，f(3+0)=f(3)+f(0),f(0)=0
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),所以是奇函数
对任意的x>0都有f(x)<0，-f(x)>0,f(-x)>0,对任意的x<0,都有f(x)>0
x2<x1,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0

Answer 2

f(0+0)=f(0)+f(0), f(0)=0
x=-y, f(0)=f(x)+f(-x)=0, f(-x)=-f(x)奇

x2>x1, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), x2-x1>0, f(x2-x1)<0, f(x2)<f(x1)单调减函数

Answer 3

令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0
令x=-y，则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,则y=fx)为奇函数
x2<x1,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
所以函数y=f(x)在R上是单调减函数
第三步没给mn 没法求 漏条件了 根据单调求