Question

已知函数f(x)=sin(π-x)-cosx(x∈R)

⑴求函数f(x)的最小正周期。 ⑵求函数f(x)的最大值和最小值。 ⑶若f(α)=1/ 4，α∈(0，π/ 2)，求sinα +cos α的值

Answer 1

解：
⑴求函数f(x)的最小正周期
f(x)=sin(π-x)-cosx=sinx-cosx=√2（√2/2sinx-√2/2cosx）=√2（sinxcos（π/4）-cosxsin（π/4））
=√2sin（x-π/4）
最小正周期 T=2π/w=2π/1=2π
⑵求函数f(x)的最大值和最小值
f(x)=√2sin（x-π/4）
sin（x-π/4）=-1时，f(x)取最小值，为√2×（-1）=-√2
sin（x-π/4）=1时，f(x)取最大值，为√2×-1=√2
⑶若f(α)=1/ 4，α∈(0，π/ 2)，求sinα +cos α的值
sinα +cos α
=√2（√2/2sinα+√2/2cosα）=√2（sinαsin（π/4）+cosαcos（π/4））=√2cos（α-π/4）
f(α)=1/ 4时，即√2sin（α-π/4）=1/4
sin（α-π/4）=√2/8
∵α∈(0，π/ 2)
∴α-π/4∈(-π/4，π/ 4)
此时，cos（α-π/4）为正值 （由三角函数线可看出）
由 sin（α-π/4）=√2/8可知，cos（α-π/4）=根号（1-sin（α-π/4）平方）=根号（1-1/32）=根号（31/32）
所以 sinα +cos α=√2cos（α-π/4）=√2×根号（31/32）=（根号31）/4

Answer 2

f(x)=sin(π-x)-cosx
= sinx-cosx
= √2(sinxcosπ/4-cosxsinπ/4)
= √2sin(x-π/4)

最小正周期：2π

最大值√2，最小值-√2

f(α)=1/4
sinα-cosα=1/4
(sinα-cosα)^2=1/16
sin^2α-2sinαcosα+cos^2α=1/16
1-2sinαcosα=1/16
2sinαcosα = 15/16
(sinα+cosα)^2=(sinα-cosα)^2+4sinαcosα=1/16+2*15/16=31/16
α∈(0，π/ 2)
sinα+cosα＞0
sinα+cosα=√31/4

Answer 3

f(x)=sin(π-x)-cosx = sinx-cosx
= √2(sinxcosπ/4-cosxsinπ/4)
= √2sin(x-π/4)
最小正周期：2π
最大值√2，最小值-√2