Question

关于一道二重积分的问题

关于一道二重积分的问题1.题目中那个曲线函数两边平方后是（y+a）²=√a²-b²，即（y+a）²+x²=0 了啊
2.在积分过程中，用的是换元法。我用凑微分法（用√4a²-r²凑的）得到了∫-rd（√4a²-r²）即∫-（√4a²-u²）du 然后不知道怎么求原积分出来了-_-||…

Answer 1

你图片上的三角函数换元是正解。

你提问中的方法也并非不可行，
做法如下：
∫r²/√(4a²-r²)·dr

=∫r·d[-√(4a²-r²)]

=-r·√(4a²-r²)+∫√(4a²-r²)dr

=-r·√(4a²-r²)+∫(4a²-r²)/√(4a²-r²)dr

=-r·√(4a²-r²)+∫4a²/√(4a²-r²)dr

-∫r²/√(4a²-r²)dr

移项后，变成
2∫r²/√(4a²-r²)dr

=-r·√(4a²-r²)+∫4a²/√(4a²-r²)dr

=-r·√(4a²-r²)+4a²·arcsin(r/2a)+2C

∴∫r²/√(4a²-r²)dr
=-r/2·√(4a²-r²)+2a²·arcsin(r/2a)+C