Question

高等代数 证明:A是M*N矩阵,B是N*P矩阵,R(B)=N,证明:当AB=0时,A=0

Answer 1

他们的都做麻烦了~
R(B)=n,说明B的列向量线性无关,Ax=0的至少有n个线性无关的解(因为AB=0,所以B的列向量就是解).
Ax=0解的个数为n-r(A)个,所以n-r(A)>=n,则r(A)=0,于是A=0.

Answer 2

简要证明思路
因为r(B)=n(n>=p) , 所以B是行独立矩阵 , 故B= [ I 0 ] C,其中C是可逆p*p阶矩阵.
由A B = 0 ,有 A [ I 0 ] C = [ A 0 ] C =0 ,即 A =0.
另外,楼主也可以从方程组的有关知识得到该结论.
如mscheng19的解决方法也挺简单

Answer 3

转置得B^TA^T=0，即B^Tai=0，其中ai是A^T的第i列，因为B^T的秩是n，故B^Tx=0只有零解，因此ai=0，i=1,2,...,m。于是A=0

追问

这个 看不懂啊。能说简单点么。我学这个学的不好 最好能上个图什么的

追答

第一步转置知道吧。然后转化为第二步是学习线性代数必须掌握的一个技巧：（AB）的第i列恰好是A乘以（B的第i列）。后面的就不用说了，是线性代数书上最基本的定理

追问

那个 大哥 我们学的是高代。没有学习现代饿。

追答

高代比线性代数还高级啊，学了高代，线代就是小case了。
代数学主要研究两个问题：线性方程组和特征值问题。矩阵乘法怎么来的？就是研究线性方程组得到的，一个线性方程组恰好能写成矩阵与一个列向量的乘积，矩阵乘积就是几个线性方程组同时研究而已。因此与线性方程组有关的结论建议一定要记住：(AB)的第i列＝A乘以（B的第i列）；还有什么时候有零解，非零解，唯一解，无穷多解，这是代数学必须掌握的内容。这道题就是用这几个结论就可以了。你哪一步没看懂？