Question

一道概率题：如下：怎么个解题过程啊？

在半径为R，中心在坐标原点的圆周上任取一点，求1）该点的直角坐标的分布密度；2）连接该点与（-R，0）所成的弦的长度的分布密度。

Answer 1

1.令A={x^2+y^2=R^2}
因为改点在圆周上取，圆周周长是l=2*pi*R，又取中圆周上的点的概率相同
所以分布密度函数
f(x,y)=1/l，当x∈A，f(x,y)=0，当f(x,y)不属于A。
（解释一下：关键是圆周上每一点概率相同，又因为f的二重积分是等于1的，所以f是就是分布密度函数）
2.这个我也不知道怎么做，主要是不知道怎么变换回去
设（x,y)为A的元素，(x,y)与（-R，0）的倾角为a，a∈（-pi/2,pi/2），
由于出现每个a的概率是相同的所以f的分布密度
f（a)=(2Rcosa)/pi，a∈（-pi/2,pi/2),f(a)=0,a属于其他
因为a=(y+R)/x，同时考虑到x^2+y^2=R^2,只要用jacobi行列式就可以进行a到x,y的变换了
即a=u(x),a=v(y)(不过要对a分正负讨论，因为一个x不是唯一对应一个a，同样y也是)下面讨论的方法就比较麻烦了，不想写了，我建议还是看看书吧~~主要就是两个变量变到另外两个变量的积分变换，数分上面肯定有的

Answer 2

第一问是在圆周上的均匀分布 你应该会求吧。第二问更简单，你只要写出弦长的一般方程，求出x，y的关系后，然后把y用x表示，在用一维积分求就可以了。如果有什么不懂的可以继续问我，楼上的都是胡说的，记得给我分哦。