Question

函数f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2，若x∈[0,1]时，函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=x^2-ax-a^2,g(x)=ax-2，
若x∈[0,1]时，函数f(x)的图像恒在g(x)图像的上方
即h(x)=f(x)-g(x)＞0，对x∈[0,1]恒成立
需h(x)（min)>0即可
h(x)= x^2-ax-a^2-ax+2
=x^2-2ax-a^2+2
=（x-a）^2+2-2a2
当a≤0时，h(x)(min)=f(0)=-a^2+2>0
-√2<a<√2 ∴ -√2< a≤0
当0<a<1时，h(x)(min)=2-2a2
2-2a2>0,得 -1<a<1, ∴0<a<1符合题意
当a≥1时，h(x)(min)=f(1)=-a^2-2a+3>0
得：a^2+2a-3<0, -3<a<1与a≥1矛盾
综上所述，符合条件的实数a的取值范围
是 -√2<a<1

Answer 2

由已知得，当 x∈[0，1] 时，x^2-ax-a^2>ax-2 恒成立，
所以 x^2-2ax-a^2+2>0 在 x∈[0，1] 时恒成立。
由于抛物线 F(x)=x^2-2ax-a^2+2 开口向上，对称轴x=a，
所以 1）若a<0，则 F(x) 在[0，1]上为增函数，只须 F(0)=-a^2+2>0 ，解得 -√2<a<0；
2）若 a>1 ，则 F(x) 在[0，1]上为减函数，只须 F(1)=1-2a-a^2+2>0 ，解得 a无解；
3）若 0<=a<=1，则F(x)在[0，a]上为减函数，在[a，1]上为增函数，
所以 只须F(a)=a^2-2a^2-a^2+2>0，解得 0<=a<1 ；
取（1）（2）（3）的并集，得 a 的取值范围为：（-√2，1）。

Answer 3

解：
x∈[0,1]时f(x)的图像恒在g(x)图像的上方，即当x∈[0,1]时，f(x)-g(x)恒>0
令h(x)=f(x)-g(x)
h(x)=f(x)-g(x)=x²-ax-a²-(ax-2)=x²-2ax-a²+2=(x-a)²+2-2a²，对称轴x=a
分类讨论：
(1)
当a≥1时，h(x)单调递减，当x=1时取得最小值，即x=1时，h(x)>0
h(x)=(a-1)²+2-2a²=-a²-2a+3=-(a+3)(a-1)>0
(a+3)(a-1)<0 -3<a<1，舍去。
(2)
当a≤0时，h(x)单调递增，当x=0时取得最小值，即x=0时，h(x)>0
h(x)=2-a²>0
a²-2<0 -√2<a<√2
得-√2<a≤0
(3)
当0<a<1时，当x=a时h(x)取得最小值，即x=a时，h(x)>0
2-2a²>0
a²-1<0
-1<a<1
可得0<a<1

综上，得-√2<a<1
a的取值范围为(-√2，1)

Answer 4

设F(x)=f(x)-g(x)=x^2-2ax-a^2+2>=0在x∈[0,1]时恒成立。
判别式=4a^2+4a^2-8=8(a^2-1)
当a^2<1，-1<a<1时，则命题成立。
当a^2>1时，对称轴为x=a。
1)若a<0，此时a<=-1，则F(0)=-a^2+2>0，F(1)=1-2a-a^2+2>0。-√2<a<=-1。
2)若a>1，此时F(0)=-a^2+2>0，F(1)=1-2a-a^2+2>0，空集。
综上所述，实数a的取值范围是(-√2,1)

Answer 5

x∈[0,1]时x^2-ax-a^2>ax-2恒成立

Answer 6

a≤1