Question

高中数学参数方程与不等式

1：已知直线L过点P（3，2），直线L的倾斜角为α，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点。求|PA|·|PB|取最小值时直线L的方程。
2：设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|，若不等式f（x）<|m-2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围。
第一题是|PA|×|PB|

Answer 1

1.设直线为y-2=k(x-3)
当x=0,y=0时
解出两点分别为（(3k-2)/k,0）,（0,2-3k）
PA·PB=6(1/k+k)
所以当k=±1时有最小值
∴方程为y=x-1或y=-x+5
2.先解出f(x)的值域
当x<-2时
f(x)=-3x,f(x)>6
当-2≤x≤1时
f(x)=4-x,3≤f(x)≤6
当x＞1时
f(x)=3x＞3
∴f(x)≥3
∴|m-2|＞3
∴m＜-1或m＞5

Answer 2

1.L:x=3+tcosα,y=2+tsinα,
与x轴，y轴的正半轴分别交于A:t1=-2/sinα，x=3-2cotα>0,B:t2=-3/cosα,y=2-3tanα>0,①
|PA|×|PB|=|t1t2|=6/|sinαcosα|=12/|sin2α|,
当α=45°（由①，舍）或135°时它取最小值，这时L的斜率=-1，L的方程为x+y-5=0.

2.f（x）=2|x-1|+|x+2|
={3x,x>=1;
{4-x.-2<=x<1;
{-3x,x<-2.
∴f(x)|min=3.
不等式f（x）<|m-2|的解集是非空集合,
<==>|m-2|>3,
<==>m-2>3或m-2<-3,
<==>m>5或m<-1.

Answer 3

[[[1]]]
x+y=5
[[[2]]]
m∈(-∞. -1)∪(5, +∞)