Question

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1CC1所成...

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1CC1所成角正弦值为？

Answer 1

取AC,A1C1中点E,E1
连结BB1E1E
因为ABC-A1B1C1是正三棱柱
E1为A1C1中点
显然B1E1垂直于面AA1C1C
则面BB1E1E垂直于面AA1C1C
自D作面AA1C1C垂线
因为面BB1E1E垂直于面AA1C1C，交于EE1
所以垂足D1在EE1上
连结AD1
则角DAD1即为AD与平面AA1C1C所成的角
根据题中所给数据
可得
AD=根号二，DD1=二分之根号三
sin角DAD1=四分之根号六
所以角DAD1=arcsin四分之根号六

Answer 2

取AC的中点为E, A1C1的中点为F, 连接EF, 在EF上,取点G,使EG =1.连接DG,AG.
知:EF//= AA1 //=BB1.
即EFB1B为平行四边形.
又AA1垂直于平面ABC,故AA1垂直于BE,(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
而又有AC垂直于BE(中线)
故BE垂直于AA1C1C.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这个平面)
易知:DG// BE. 即有DG垂直于平面AA1C1C.
即:AG为AD在平面AA1C1C上的投影. 即知角GAD为直线AD与平面AA1C1C所成的角.
在三角形GAD中,求得AD=根号2, AG = 根号(5/4), GD = (根号3)/2
由余弦定理:cos角GAD =[2+ 5/4-3/4]/ [2*(根号2)(根号(5/4))] =[3根号(10)]/20.
从而sin角GAD = (根号310)/20.