Question

设0＜θ＜π 求函数y=sinθ/2（1+cosθ)最大值

请详细解答,拜托

Answer 1

y=sin(θ/2)（1+cosθ)
=2 sinθ/2*cos²(θ/2)
=2 sinθ/2[1-sin²(θ/2)]
方法1：求导
∵0＜θ＜π∴sinθ/2∈(0,1)
设 sinθ/2=x∈(0,1)
y=2x-2x³
y'=2-6x²=6(√3/3+x)(√3/3-x)
x∈(0,√3/3),y'>0,y递增
x∈(√3/3,1) ,y'<0,y递减
∴x=√3/3,y取得最大值
y(max)=4√3/9
方法2;均值定理
（三个数的均值不等式定理：
a,b,c∈R,abc≤[(a+b+c)/3]³
∵y>0
∴y²=4 sin²θ/2*cos²(θ/2) *cos²(θ/2)
=2*[2sin²θ/2*cos²(θ/2) *cos²(θ/2)]
≤2 {[2sin²θ/2+cos²(θ/2) +cos²(θ/2)]/3}³
=2(2/3)³=16/27
y≤√(16/27)=4√3/9

别听楼上的，你的问题是没有毛病的。

Answer 2

先对1+cosx升幂
=sinx/2*cos^2(x/2)
=sinx/2(1-sin^2(x/2))
换元带定义域看出结果

追问

1+cosθ,怎样升幂得到cos^2(x/2)
另外,能直接用cosθ=1-sin^2(x/2)吗?

追答

噢,貌似我搞错了,你那个也有问题,是1-2倍的sin^2(x/2) 带进去算~这样才是正确的