Question

高中数学导数题

第二步骤怎么来的f突然消失，出现乘2和平方，不懂求解

Answer 1

（1）h(x)=x-(a+1)lnx-a/x+3，定义域x>0
h'(x)=1-(a+1)/x+a/x^2
=[x^2-(a+1)x+a]/x^2
=(x-a)(x-1)/x^2
①a<=0
当0<x<1时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x>1时，h'(x)>0，h(x)单调递增
②0<a<1
当0<x<a或x>1时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当a<x<1时，h'(x)<0，h(x)单调递减
③a=1
h'(x)>=0，h(x)在x>0上单调递增
④a>1
当0<x<1或x>a时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当1<x<a时，h'(x)<0，h(x)单调递减
（2）h(x)=x-(a+1)lnx-a/x+3
根据题意，当1<=x<=e时，h(x)>=0恒成立
①a<=0
h(x)在[1,e]上递增，则h(1)=1-a+3>=0
a<=4
即a<=0
②0<a<1
h(x)在[1,e]上递增，则h(1)=1-a+3>=0
a<=4
即0<a<1
③a=1
h(x)在[1,e]上递增，则h(1)=1-a+3>=0
a<=4
即a=1
④1<a<e
h(x)在(1,a)上递减，在(a,e]上递增，则h(a)=a-(a+1)lna-1+3>=0
(a+1)lna<=a+2
lna<=1+1/(a+1)
因为0<lna<1，1+1/(a+1)>1，所以lna<=1+1/(a+1)在1<a<e上恒成立
⑤a>=e
h(x)在[1,e]上递减，则h(e)=e-a-1-a/e+3>=0
a+a/e<=e+2
a<=e(e+2)/(e+1)
即e<=a<=e(e+2)/(e+1)
综上所述，a<=e(e+2)/(e+1)