Question

已知x,y,z,且x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=3,则xyz的最大值是

Answer 1

x+y=1-z
x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
xy+z(x+y)=-1
xy+z(1-z)=-1
xy=-1-z(1-z)
x+y=1-z
看成方程判别式>=0
z在[-1,5/3]上
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z
求导得3z^2-2z-1
导数>0
有z在[-根3,-1/3]上增 在[-1/3,1]上减 在[1,根3]上增
最后求得xyz最小值5/27

Answer 2

xyz的最大值是5/27。(当且仅当x，y，z中的两个为-1/3，另一个为5/3时取得)
注：可用导数或用解析几何求出。