Question

如图，以三角形ABC的各边为一边分别向BC边得同侧作正三角形 ABD，BCF，ACE。连接FD，FE。

1.当三角形ABC满足什么结论时，四边形AEFD是菱形？证明。
2.当∠BAC满足什么条件时，四边形AEFD是矩形，并证明。
3.在什么条件下，四边形AEFD是正方形？证明。

Answer 1

1、当角BAC不为60度（60度时4点共线），角ACB与角ABC均不大于120度，且AB=BC时，AD=AE，四边形AEFD是菱形。
2、当角BAC＝150度时，角DAE＝90度，四边形AEFD是矩形。
3、当同时满足条件1和条件2即AB=BC，角BAC＝150度时，四边形AEFD是正方形。
所有的前提条件是要证明四边形AEFD为平等四边形，现证明如下:
（三角形ABC≌三角形DBF≌三角形EFC）
三角形ABC≌三角形DBF：BD=AB，角DBF＝角ABC＝60－角FAB，BF＝BC（边角边）
三角形ABC≌三角形EFC：CE＝CA，角ECF＝角ACB＝60－角FCA，CF＝CB（边角边）
故：DF=BC=CE=AE，AD=BD=BA=EF，故四边形AEFD为平行四边形。
满意否？ 补充下：证明中包含了一个条件，即角ACB与角ABC均不大于120度的情况（即同侧作正角形时，其角存在一个交角，如角ADB与角FBC的交角为角FAB），若其中一个大于120度，则其四边形会变成梯形，具体可以自己证明。