Question

设集合A={(x,y)|m/2≤(x-2)^2+y^2≤m^2;,x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A,B≠空集

,则实属m的取值范围 过程 求多种方法详细过程

Answer 1

方法1： x+y=t ,(x-2)^2+y^2=s
y=t-x带入圆方程得 2x^2-(2t+4)x+(t^2+4-s)=0
存在交点说明 Δ=4[-(t-2)^2+2*s]≥0
即存在s,t满足m/2≤s≤m^2 2m≤t≤2m+1 和 2s≥(t-2)^2
由m/2≤s≤m^2 得到m≥1/2或m≤0
若m≤0则对 注意到2m≤t≤2m+1≤1
(t-2)^2 的最小值为（2m+1-2）^2=(2m-1)^2 最大值为（2m-2)^2
2s-(t-2)^2≤2m^2-(2m-1)^2=-2m^2+4m-1=-2(m-1)^2+1≤-2(0-1)^2+1=-11 注意到21 有 (2m-1)^2-m=4m^2-5m+1=(4m-1)(m-1)>0 所以 m≤(2m-1)^2成立
而2m^2-（2m-2）^2=-2m^2+8m-4=-2(m-2)^2+4
要（2m-2）^2≤2m^2 需要2-根号2≤m≤2+根号2
注意到2-根号2

方法2：
A表示圆环,B表示两平行线间的区域.
A∩B≠∅,
<==>大圆与平行线之一有公共点,
<==>|2-(2m+1)|/√2<=|m|,或|2-2m|/√2<=|m|,
<==>|2m-1|<=√2|m|,或√2|m-1|<=|m|,
平方得4m^2-4m+1<=2m^2,或2(m^2-2m+1)<=m^2,
整理得2m^2-4m+1<=0,或m^2-4m+2<=0,
解得（2-√2)/2<=m<=(2+√2)/2,或2-√2<=m<=2+√2,
求并集得（2-√2)/2<=m<=2+√2,为所求.