Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°）

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D为△ABC内一点，BD=BC
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D为△ABC内一点，BD=BC且∠CBD=60°
问：
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）
（2）求证：AD是BC的垂直平分线
（3）如图2，以AB为一边作等边三角形ABE，连接CE,DE，试探究AD、BD、DE之间有怎样的数量关系？

Answer 1

(1)

已知AB=AC，∠BAC=α

所以，∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2=90°-(α/2)

已知∠CBD=60°

所以，∠ABD=∠ABC-∠CBD=[90°-(α/2)]-60°=30°-(α/2)

(2)

连接CD、AD

已知BD=BC，∠CBD=60°

所以，△BCD为等边三角形

所以，BD=CD，∠BCD=∠CBD=60°

则，∠ABD=∠ACD

已知AB=AC

所以，△ABD≌△ACD（SAS）

所以，∠BAD=∠CAD

即，AD为等腰△ABC顶角平分线

所以，AD垂直平分BC

(3)

如图，连接AD、CD

已知△ABE为等边三角形，则：∠ABE=60°，AB=EB

由前面(2)证明知，△BCD为等边三角形

则，∠DBC=60°，BD=BC

所以，∠ABD=∠EBC=60°-∠DBE

那么，△ABD≌△EBC（SAS）

所以，AD=CE；∠ADB=∠ECB

由(2)证明知∠ADC=∠ADB

而，∠ADC+∠ADB+∠BDC=360°

===> 2∠ADB+60°=360°

===> ∠ADB=150°

那么，∠ECB=150°

而∠BCD=60°

所以，∠DCE=150°-60°=90°

即，△DCE为直角三角形

那么，CE^2+CD^2=DE^2

即，AD^2+BD^2=DE^2.

Answer 2

（1）180-a-120
（2）
连接CD
BD=BC且∠CBD=60°
所以△BCD为等边三角形
所以D点在BC的垂直平分线上
而△ABC为等腰三角形，AB=AC
所以A点也在BC的垂直平分线上
所以AD是BC的垂直平分线
（3）

Answer 3

1.30°-α/2
2. bdc是等边三角形。。然后就很显然了
3.不知道。。