Question

空间几何体的内切球和外接球怎么做?(举例如棱锥,棱柱)

Answer 1

正三棱锥p-abc，棱长a
设底面三角形abc的ab、bc、ca边中点为d、e、f
易得三角形bpf、aep、cdp全等，bf、cd、ae交于o，且po⊥平面abc
任选po上一点o'，易证明o'到pd、pe、pf的距离相等
当oo'等于o'到pd、pe、pf的距离距离时，恰好就是正三棱锥的内切球半径r
of=oe=od=(1/3)ae=(1/3)cd=(1/3)bf=a√6/6
pd=pe=pf=ae=cd=bf=a√2/2
po=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3
o到三个侧面的距离=1/3
设oo'=r
(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)
r=oo'=(3-√3)a/6
验证：o'到pf的距离o'h=oo'
设og⊥pf，o'h//og
sin∠ofp=op/pf=√6/3,og=of*sin∠ofp=a/3
(po-r)/po=o'h/og
o'h=(po-r)*og/po=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3
=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r
所以，正三棱锥内切球的半径r=a(3-√3)/6
po=√3/3<ao=a√6/3,外接球球心o2在po延长线上
外接球半径r=po+oo2
(po+oo2)^2=oo2^2+ao^2
2po*oo2=ao^2-po^2
a(2√3/3)*oo2=a^2(6/9-3/9)
oo2=a√3/6
因为ao=bo=co，所以o2a=o2b=o2c=po2=r
r=po+oo2=a√3(1/6+1/3)=a√3/2
r:r=(3-√3)a/6*(2/a√3)
=(√3-1)/3