Question

n个结点并且其高度为n的二叉树的数目是多少

Answer 1

　　当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1;
h(0)=0;
　　当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。
　　当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。
　　以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。
　　令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：
　　h(n)=
h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)
+
...
+
h(n-1)h(0)
(其中n>=2)
　　另类递归式：
　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1)
(n=1,2,3,...)