Question

数学 关于等边三角形的证明题

请写出步骤（最好是图片，有数学符号最好），有辅助线也最好画图。

不胜感激！

Answer 1

发错了，这是拿破仑三角，证明如下，很长，准备好……
如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC，
又∵AG=AF，GE=DC，
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC，
∴△AGE∽△ABC，
∴∠GAE=∠BAC，
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°，
又∵AG=AF，
∴△AGF为等边三角形，
∴AG=AF，∠AGF=60°，
∵△AGE∽△ABC，
∴∠AGE=∠ABC，
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°，
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°，
∴∠FBD=∠FGE，
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE，
∴△FBD≌△FGE(SAS)，
∴FD=FE，
同理，FD=DE，
∵FD=DE=FE，
∴△DEF为等边三角形。

Answer 2

证明：
如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC，
又∵AG=AF，GE=DC，
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC，
∴△AGE∽△ABC，
∴∠GAE=∠BAC，
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°，
又∵AG=AF，
∴△AGF为等边三角形，
∴AG=AF，∠AGF=60°，
∵△AGE∽△ABC，
∴∠AGE=∠ABC，
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°，
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°，
∴∠FBD=∠FGE，
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE，
∴△FBD≌△FGE(SAS)，
∴FD=FE，
同理，FD=DE，
∵FD=DE=FE，
∴△DEF为等边三角形。

希望能对你有所帮助

望采纳

Answer 3

△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）∴△ABF∽△BCD∽△ACE，∴AF/AB = AE/AC = DC/BC，又∵AG=AF，GE=DC，∴AG/AB = AE/AC = GE/BC，∴△AGE∽△ABC，∴∠GAE=∠BAC，∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°，又∵AG=AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG=AF，∠AGF=60°，∵△AGE∽△ABC，∴∠AGE=∠ABC，又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°，∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°，∴∠FBD=∠FGE，∵在△FBD和△FGE中，FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE，∴△FBD≌△FGE(SAS)，∴FD=FE，同理，FD=DE，∵FD=DE=FE，∴△DEF为等边三角形。

Answer 4

设b点为原点，建立极坐标轴，a ，c两点为以知。然后计算o1到o2，o3的长度就行了呗。