Question

一道计算极限的题目的解释

请问，lim(x×sin1/x) 其中x趋向∞然后计算这个题目。为什么不能按照极限的运算法则然后拆开成为limx跟limsin1/x然后算他们的积？？（此时算到等于0？）什么情况下可以直接用极限的运算法则呢？为什么此时不可以而一定要用代换法？（用t代替1/x？？此时算到也就是正确答案等于1）

Answer 1

第一按照极限的运算法则必须满足两者的极限都存在
第一个limx=无穷，极限不存在，所以不可以用
其次就算可以用
无穷*0是不定型，即可能是无穷，0，某个常数
所以无法得到结果，必须放在一起考虑
不一定要用代换法
最好的办法就采用洛必达，替换法可能会出错的
替换法只是会简化运算过程，实质是一样的
若不替换
=sin(1/x)/(1/x), 0/0不定型，洛必达
上下分别求导
=cos(1/x)(-1/x^2)/(-1/x^2)=cos(0)=1

若替换
则=sin(t)/t, t->0
显然是1，用洛必达也一样

追问

也就是说两个都必须要是确定的一个数值才可以用运算法则对吗？只要一个不是一个确定的数值就不能用了？

追答

对的，不是有限数值则必须采用另外的办法，例如洛必达
另一种是一个是非零有限数值，一个是无穷，会得到无穷
lim_x->无穷 (1/x+1)*x
=lim 1/x+1 lim x
=1*lim x=无穷

总结如下，若两者都为有限数值，一定能用
若其一为无穷，另一为不为0的有限数值，极限无穷
若其一为无穷，另一为0，想办法化成分式，洛必达
若两者都为无穷，则极限无穷

追问

无限加减无限等于什么呢？

追答

正无穷+正无穷=无穷
正无穷-正无穷=不定

Answer 2

lim (AB) = lim(A) * lim(B)
前提是两个极限 lim(A) 和 lim(B)都要存在才行。或者一个是无穷大，另一个存在且不为0也可以。