Question

三角函数定积分！

Answer 1

如图所示，这是由对称性决定的

f(x)=[sin(x)]^4的周期是π，对称轴是x=kπ/2（k为整数）。由对称性、定积分的几何性质知原式成立

(sinx)^2=(1-cos2x)/2，因此(sinx)^2的周期与cos2x相同，等于π

(sinx)^4=[(sinx)^2]^2=[(1-cos2x)/2]^2=(1-cos2x)^2/4=[1-2cos2x+(cos2x)^2]/4=[1-2cos2x+(1+cos4x)/2]/4，(sinx)^4的周期是cos2x的周期（等于π）和cos4x的周期（等于π/2）的最小公倍数，故(sinx)^4的周期是π

以此类推，(sinx)^(2k)=a + b*cos2x + c*cos4x + d*cos6x + ...（k=1,2,3...），周期是π、π/2、π/3……的最小公倍数，即(sinx)^(2k)的周期是π

而(sinx)^(2k)的对称轴是x=kπ/2（k为整数），即在[0,π]内的图形关于x=π/2对称，故有∫(0→π/2)(sinx)^(2k)dx=∫(π/2→π)(sinx)^(2k)dx=(1/2)∫(0→π)(sinx)^(2k)dx

由此推出∫(0→2π)(sinx)^4*dx=2∫(0→π)(sinx)^4*dx=2*2∫(0→π/2)(sinx)^4*dx=4∫(0→π/2)(sinx)^4*dx

Answer 2

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追问

好厉害~~~这样的话 只要sin(x)的偶次方 都可以这么用？
如果是0积分到二分之三π呢？

追答

3倍

追问

也就是只要是偶次，kπ/2到(k+1)π/2上的积分都是相同的？

追答

采纳了别人的，还来追问一大堆的，无语！！！

Answer 3

• 区间[0,2π]的积分区间是[0,π/2]的四倍，由于被积函数是偶函数在每[0,π/2]长度的区间上积分相等，所以上式成立。

Answer 4

sin^4x的周期是π/2 再根据周期函数积分的性质知道得到这个公式

追问

那sin^6(x)呢？sin^2(x)呢？为什么也可以这样？

追答

这个用倍角公式 sin^2= 1-cos2x/2 这个周期就是π
同样sin^4x 的周期应该是cos4x的周期一样

Answer 5

0<=(sinx)^4<=1
所以0--2π可以分为 4* π/2

追问

完全不理解！！这有什么因果关系

追答