Question

已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，点Ol在圆O2上，C为圆O2上一点（不与A，B，O1重合）

已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，点Ol在圆O2上，C为圆O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB交圆O1交于另一点D.
(1)如图(1)，若AC是圆O2的直径，求证：AC=CD；
(2)如图(2)，若C是圆O1外一点，求证：O1C⊥AD；
(3)如图(3)，若C是圆O1内的一点，判断(2)中的结论是否成立.

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Answer 1

解：

⑴证明：连接O1O2，连接CO1

∵AC为⊙O2直径
∴∠AO1C=90°
即CO1⊥AD，
∵AO1=DO1
∴DC=AC(垂直平分线的性质)；

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⑵证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，

∵四边形AEDB内接于⊙O1，
∴∠E+∠ABD=180°，
∵∠ABC+∠ABD=180°，
∴∠ABC=∠E，
又∵弧AC=弧AC，

∴∠ABC=∠AO1C，

∴∠E=∠AO1C，
∴CO1∥ED，
又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，
∴O1C⊥AD.

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⑶⑵中的结论仍然成立．
证明：
连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，

∵∠B+∠AO1C=180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，
∴∠B=∠EO1C，
又∵∠E=∠B，
∴∠EO1C=∠E，
∴CO1∥ED，又ED⊥AD，
∴CO1⊥AD．

【此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．】

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