Question

已知椭圆G：X^2/4+Y^2=1，过点（m，0）做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A，B，两点。（1）求椭圆G的焦

点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值

Answer 1

解：
(1)
由已知得：
a²＝4，a＝2
b²＝1，b＝1
∴c＝√(a²－b²)＝√3
∴椭圆G的焦点坐标为(－√3，0)(√3，0)
离心率e＝c/a＝√3/2

(2)
由题意知：
|m|≥1
当m＝1时，切线l的方程为x＝1
点A，B的坐标分别为(1，√3/2)，(1，－√3/2)
此时，|AB|＝√3
当m＝－1时，同理可得|AB|＝√3
当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)
由：
{y＝k(x－m)
{(x²/4)＋y²＝1
得：
(1＋4k²)x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)
则由韦达定理，得：
x1＋x2＝8k²m/(1＋4k²)
x1•x2＝(4k²m²－4)/(1＋4k²)
又l与圆x²＋y²＝1相切，得：
|km|/√(k²＋1)＝1
即m²k²＝k²＋1
∴|AB|＝√[(x1－x2)²＋(y1－y2)²]
＝√(1＋k²)[(x1＋x2)²－4x1x2]
＝√(1＋k²)[ [64k⁴m²/(1＋4k²)²]－[4(4k²m²－4)/(1＋4k²)] ]
＝(4√3|m|)/(m²＋3)
由于当m＝±1时，|AB|＝√3
∴|AB|＝(4√3|m|)/(m²＋3)，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)
∵|AB|＝(4√3|m|)/(m²＋3)＝4√3/[ |m|＋(3/|m|) ] ≤2
且当m＝±√3时，|AB|＝2
∴|AB|的最大值为2