Question

如图,AD为△ABC的高,E为边AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD.

(1)试探求BE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若将条件BF=AC和（1）中的结论互换，那么这个命题还成立吗？请说明你的理由.

Answer 1

⑴BE⊥AC。
证明：
∵AD⊥BC，
∴在RTΔBDF与RTΔADC中，
BF=AC，DF=CD，
∴ΔBDF≌ΔADC(HL)，
∴BF=AC，∠DBF=∠DAC，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAF+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC。
⑵命题成立。
证明：
∵BE⊥AC，
∴∠DAF+∠C=90°，

∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∵DF=CD，∠BDF=∠ADC，
∴ΔBDF≌ΔADC(AS)，
∴BF=AC。