Question

已知函数fx=x|x-a|-a,x∈R.(1)当a=1时,求满足fx=x的x值

（2）当a＞1时，写出函数fx的单调增区间

Answer 1

(1)当a=1时，f(x)=x|x-1|-1={x^2-x-1, x≥1时； -x^2+x-1,x<1时}
当x≥1时,x^2-x-1=x, x^2-2x-1=0, x=1±√2（舍去-号）
当x<1时，-x^2+x-1=x, -x^2-1=0, x^2=-1, 无解
所以x=1+√2
(2)f(x)={x^2-ax-a,x≥a时；-x^2+ax-a,x<a时}
当x≥a时, f(x)=(x-a/2)^2-a-a^2/4, 对称轴在x=a/2上，所以x>a时，单调递增
当x<a时f(x)=-(x-a/2)^2-a+a^2/4, 开口向下，所以x<a/2时单调递增，a/2<x<a时，单调递减

Answer 2

楼上解得正确
但第二问有点不严密，其结果仅在a>0的情况下成立，当a<0时，x∈(-∞,a)，f(x)单调增；x∈[a/2,+∞)，f(x)单调增；

已知函数f(x)=x|x-a|-a,x∈R.
(1)当a=1时,求满足fx=x的x值
(2)当a＞1时，写出函数fx的单调增区间
(1)解析：∵数f(x)=x|x-a|-a
写成分段函数：
f(x)=x(a-x)-a=-x^2+ax-a (x<a)；
f(x)=x(x-a)-a=x^2-ax-a (x>=a)；
可知f(x)图像以直线x=a为界，分为二部分：左边为开口向下的抛物线；右边为开口向上的抛物线
当a=1时，f(x)图像以直线x=1为界，左边为开口向下的抛物线y=-x^2+x-1；右边为开口向上的抛物线y=x^2-x-1
令y=-x^2+x-1=x==>-x^2=1，显然无解；
y=x^2-x-1=x==>(x-1)^2=2==>x1=1-√2<1(舍)，x2=1+√2
∴当a=1时,满足f(x)=x的x=1+√2
(2)解析：当a＞1时，f(x)图像以直线x=a为界，分为二部分：
左边为开口向下的抛物线；
f(x)=-x^2+ax-a=-(x-a/2)^2+a^2/4-a（x<a）
∴x∈(-∞,a/2)，f(x)单调增；x∈[a/2,a)，f(x)单调减；
右边为开口向上的抛物线
f(x)=x^2-ax-a=(x-a/2)^2-a^2/4-a (x>=a)
∵a>a/2
∴x∈[a,+∞)，f(x)单调增；
综上：当a＞1时，x∈(-∞,a/2)，f(x)单调增；x∈[a,+∞)，f(x)单调增；