Question

三阶矩阵已知三个特征值，一个特征向量，怎么求其余特征值和原矩阵？

Answer 1

a1=(1,0,1)

任意取两个和a1线性无关的向量a2=(1,0,0), a3=(0,1,0)，然后进行斯密特正交化

a2' = a2 - <a2,a1>/<a1,a1> * a1 = (1,0,0) - 1/2 * a1 = (1/2, 0, -1/2)

a3' = a3 - <a3,a1>/<a1,a1> a1 = (0,1,0)

根据对称矩阵不同特征值的特征向量关系a2', a3'是-1对应的特征向量

取P=(a1,a2', a3')，则P^(-1)AP = diag(1,-1,-1)

A=Pdiag(1,-1,-1)P^(-1)

扩展资料：

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

参考资料来源：百度百科-特征向量

Answer 2

a1=(1,0,1)

任意取两个和a1线性无关的向量a2=(1,0,0), a3=(0,1,0)，然后进行斯密特正交化
a2' = a2 - <a2,a1>/<a1,a1> * a1 = (1,0,0) - 1/2 * a1 = (1/2, 0, -1/2)
a3' = a3 - <a3,a1>/<a1,a1> a1 = (0,1,0)
根据对称矩阵不同特征值的特征向量关系a2', a3'是-1对应的特征向量
取P=(a1,a2', a3')，则P^(-1)AP = diag(1,-1,-1)
A=Pdiag(1,-1,-1)P^(-1)

Answer 3

注意对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。由此可以求出属于另两个特征值的特征向量，以这三个特征向量的坐标为列构造一个矩阵P，则
P^-1AP=diag(入1，入2，入2)
由此可求出矩阵A来了。

Answer 4

a1=(1,0,1)
任意取两个和a1线性无关的向量a2=(1,0,0), a3=(0,1,0)，然后进行斯密特正交化
a2' = a2 - <a2,a1>/<a1,a1> * a1 = (1,0,0) - 1/2 * a1 = (1/2, 0, -1/2)
a3' = a3 - <a3,a1>/<a1,a1> a1 = (0,1,0)
根据对称矩阵不同特征值的特征向量关系a2', a3'是-1对应的特征向量
取P=(a1,a2', a3')，则P^(-1)AP = diag(1,-1,-1)
A=Pdiag(1,-1,-1)P^(-1)