Question

定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x>1时f(x)>0, 求f(1)的值

定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且x>1时f(x)>0, 求f(1)的值，求证f(x)在（0，正无穷大）上增函数

Answer 1

1.解:令x=2,y=1得
f(2)=f(2)+f(1)
即f(1)=0。

2.证明:对任意满足x1>x2>0的实数a和b,令x=a/b,y=b得
f(a)=f(a/b)+f(b)
显然a/b>1,因此f(a/b)>0。
因此
f(a)-f(b)=f(a/b)>0
从而f(x)在(0,+∞)上是增函数。