Question

如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，在其外部产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为

如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，在其外部产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为B=kr（其中：r为辐射半径-考察点到圆柱形磁铁中心轴线的距离，k为常数），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），制成铝环的铝丝其横截面积为S，铝环由静止开始下落通过磁场，下落过程中铝环平面始终水平，已知铝丝电阻率为ρ，密度为ρ0，当地的重力加速度为g，试求：（1）铝环下落的速度为v时的电功率是多大？（2）铝环下落的最终速度vm是多大？（3）如果从开始到下落高度为h时，速度最大，经历的时间为t，这一过程中铝环中电流的有效值I0是多大？

Answer 1

（1）由题意知圆环所在处的磁感应强度B=

K

R

，圆环的有效切割长度为其周长，即L=2πR，
圆环的电阻R₀=ρ

L

S

=ρ

2πR

S

，当圆环的速度为v时，切割磁感线产生的电动势E=BLv=2kπv，
圆环中的电流I=

KvS

ρR

，圆环速度为v时电功率P=I²R₀
联立以上各式解得：P=

2πSK2 v2

ρR

（2）当圆环加速度为零时，有最大速度v_m，此时安培力F=BIL=

2πSK2vm

ρR

由平衡条件可知：mg=F，圆环的质量m=ρ₀S?2πR
 解得：v_m=

ρρ0gR2

K2

（3）由能量守恒定律得：
mgh=

1

2

m

v

2 m

+

I

2 0

Rt 
则：

I

2 0

Rt=2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

K2

）²]
解得：I0＝

2πρ0RS[gh? 1 2 ( ρρ0gR2 K2 )2 Rt

答：（1）铝环下落速度为v时的电功率是

2πSK2 v2

ρR

，
（2）铝环下落的最终速度是

ρρ0gR2

K2

，
（3）当下落h高度时，速度最大，此过程铝环中电流的有效值I₀是：I0＝

2πρ0RS[gh? 1 2 ( ρρ0gR2 K2 )2 Rt