Question

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A．B点，点M是线段AB上任意一点（A．B两点除外），过M分别作MC⊥OA

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A．B点，点M是线段AB上任意一点（A．B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，同学小王认为四边形OCMD的周长是在某个范围内发生变化，同学小李认为四边形OCMD的周长是没有发生变化的固定值．如果赞同小王请在空格上写出范围，赞同小李写出固定值．（2）设点M的横坐标为x，四边形OCMD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当点M运动到什么位置时，S可以取到最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动（M离开线段AB），设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并在坐标系中画出该函数的草图（示意图）．

Answer 1

（1）是固定值8，
由y=-x+4，
∴x+y=4，
四边形OCMD的周长是2（x+y）=8；

（2）∵MC⊥OA，MD⊥OB，x轴⊥y轴，
∴四边形OCMD是矩形，
∴DM∥OA，
∴△BDM∽△BOA，
∴

BD

0B

=

DM

OA

，
即

4?OD

4

=

x

4

，
解得OD=4-x，
∴S=x（4-x）=-x²+4x，
所以，S与x的函数关系式为：S=-x²+4x（0＜x＜4），
∵S=-x²+4x=-（x²-4x+4）+4=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S有最大值4，
此时M是AB的中点，
故点M运动到AB的中点位置时，四边形OCMD的面积有最大值4；

（3）如图，∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴移动过程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
由（2）可得，四边形OCMD为正方形时，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面积为：2²=4，
①当0＜a≤2时，重叠部分的面积=4-

1

2

a²，
②当2≤a＜4时，重叠部分的面积=

1

2

（4-a）（4-a）=

1

2

（4-a）²，
所以，S与a的函数关系式为S=

? 1 2 a2+4      (0＜a≤2) 1 2 (a?4)2      (2＜a＜4)

，
函数图象如图：