Question

设函数f(x)=log1/2(1-ax/x-1)为奇函数，a是常数。

（1）求a的值；
（2）证明f(x)在（1，+∞）内单调递增；
（3）若对[3,4]上的任意x值,不等式f(x)>（1/2）^x+m恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

f(-x)=log1/2(1+ax)/(-x-1)=-f(x)=-log1/2(1-ax)/(x-1)=log1/2(x-1)/(1-ax)
(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax)
1-x^2=1-a^2x^2
a^2=1
a=1或-1
若a=1
则f(x)=log1/2(1-x)/(x-1)=log1/2(-1)
无意义
所以a=-1

f(x)=log1/2(1+x)/(x-1)
(1+x)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)
=1+2/(x-1)
x>1时x-1递增
所以2/(x-1)递减
所以(1+x)/(x-1)是减函数
底数1/2<1
所以log1/2(x)是减函数
所以x>1时f(x)是增函数

移项可以得到：m<f(x)-0.5^x，m只要小于右边的最小值即可；
右边的式子为单调增函数【增函数减去减函数为增函数】
m<f（3）-0.5^3=-9/8,所以m<-9/8

Answer 2

：（1）∵函数f(x)=log121-axx-1为奇函数
∴f(-x)+f(x)=log121+ax-x-1+log121-axx-1=log121+ax-x-1•1-axx-1=0
即1+ax-x-1•1-axx-1=1
解得a=-1 （6分）
（2）设x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，
∴2x2-2x1＞0
∴f(x1)-f(x2)=log121+x1x1-1-log121+x2x2-1=log12x2-x1+x1x2-1x1-x2+x1x2-1
又∵x2-x1+x1x2-1x1-x2+x1x2-1＞1
∴log12x2-x1+x1x2-1x1-x2+x1x2-1＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在区间（1，+∞）内单调递增．→_→◑﹏◐