Question

已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,用初等方法证明b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11.

Answer 1

可以用拉各朗日数乘法，这个方法你可能不知道，这是高等数学的解法，只是供你参考:
设f(a.b.c)=a+b+c-1,数乘因子为s，
令g(a.b.c)=b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)得到拉各朗日函数l(a.b.c)=g(a.b.c)+s*f(a.b.c)，然后分别对
l(a.b.c)进行求偏导数得以下几个式子：
1/c-b/(a*a)+24(b+c)+s=0
1/a-c/(b*b)+24(a+c)+s=0
1/b-a/(c*c)+24(a+b)+s=0
还加上本身自己就有的方程a+b+c=1
联合上述的式子（上式是很对称的）得a=b=c=1/3；
把a,b,c带入g(a.b.c)中就是它的最小值11，至于为什么是最小值那是高等数学才能说得清楚的问题，我就不细说
了，顺便说一下，对某个变量求偏导就是其它变量看作常量，只对这一个变量求导数比如f(a.b)=2a+b,对a求偏导就是把b看成常数即是偏倒数为2，对b的偏倒数为1

Answer 2

我做的shicuode
b^2c+a^2b+c^2a>=3*3次根号下(a^3b^3c^3)=3*(abc)[算术平均值>=几何平均值]
所以b/a+c/b+a/c=(b^2c+a^2b+c^2a)/(abc)>=3*(abc)/(abc)=3 (1)

因为ab+bc+ca>=3*3次根号下(a^2b^2c^2)>=1/3 [算术平均值>=几何平均值]
所以24(ab+bc+ca)>=24*1/3=8 (2)

根据(1)(2)
b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11

Answer 3

b^2c+a^2b+c^2a>=3*3次根号下(a^3b^3c^3)=3*(abc)[算术平均值>=几何平均值]
所以b/a+c/b+a/c=(b^2c+a^2b+c^2a)/(abc)>=3*(abc)/(abc)=3 (1)

因为ab+bc+ca>=3*3次根号下(a^2b^2c^2)>=1/3 [算术平均值>=几何平均值]
所以24(ab+bc+ca)>=24*1/3=8 (2)

根据(1)(2)
b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11