Question

已知：抛物线m：y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=-1，

已知：抛物线m：y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=-1，b=4，直接写出与抛物线m有关的三条正确结论；（2）若抛物线m经过原点，且△ABP为直角三角形．求a，b的值；（3）若将抛物线m沿x轴翻折180°得抛物线n，抛物线n的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

Answer 1

（1）①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴是：x=2；
③抛物线的顶点坐标是（2，4）（答案不唯一）；
            
（2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．
∵抛物线经过原点，∴A（0，0），B（4，0）．
△ABP为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AP=BP，
∴AE=BE=PE，
∴P（2，-2）或（2，2）．
当抛物线的顶点为P（2，-2）时，y=a（x-2）²-2，把（0，0）代入，
得：a＝

1

2

，此时，b=-2．
当抛物线的顶点为P（2，2）时，y=a（x-2）²+2，把（0，0）代入，
得：a＝?

1

2

，此时，b=2．
∴a＝

1

2

，b=-2或a＝?

1

2

，b=2．

（3）依题意，A、B关于点E中心对称，当P，Q也关于点E对称，
则当AB=PQ时，四边形APBQ是正方形．
令y=0，则a（x-2）²+b=0
解得：x1＝2+

? b a

，x2＝2?

? b a

且E（2，0）
∴AB=x₁-x₂=2

? b a

，PQ=2|b|，
∴2

? b a

＝2|b|，
∴ab=-1．