Question

（2011?日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（2011?日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．

（2）如图，连接MC．

∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，

∠ADC＝∠EMC ∠DAC＝∠MEC AC＝EC

，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．