Question

已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．

（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．

Answer 1

我只能帮你解决第一个，3年没碰数学了，也差不多忘了

根据条件可知，∠FDC=30°，由此可知FC=三分之根号三X，DC=三分之二根号三X，BD=4-三分之二根号三X，因为DE∥AC，所以三角形BDE也为正三角形，则∠EDF为RT∠，根据面积S=y=½X*（4-三分之二根号三X），得出y=负三分之根号3X的平方+2X

Answer 2

1. 解：（1）易得△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，
   ∴CD=DF÷sin60°=2
   33x．
   ∠EDF=90°，
   BD=BC-CD=ED=4-2
   33x．
   y=DF×ED÷2=12x（4-2
   33x）=-33x2+2x，
   ∵D在BC上，
   ∴CD＜4，
   当CD=4时，CF=2，DF=23，
   DF≤23（等于23时，D和B重合）
   ∴自变量x的取值范围0≤x≤23．
   
   （2）当x=3，△EDF的面积最大．
   最大面积是=3．
   
   （3）当△DCF∽△EFD，
   ∴∠FED=∠FDC=30°．
   ∴DF=33DE=33

    

   BD．
   ∵DC=4-BD，∠C=60°，
   ∴DF=32CD=4
   3-
   3BD2，
   ∴33BD=4
   3-
   3BD2．
   解得：BD=2.4．
   当△DCF∽△FED，
   同理可得：BD=4/3，
   ∴BD=4/3或2.4．