Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>o)经过点A(2,1),离心率为√2/2,过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N

（1）求椭圆C的方程
（2）求BM的拔乘以BN的拔的取值范围
（3）设直线AM和AN的斜率分别是kAB和KAN，求证KAM+kAN为定值

Answer 1

离心率为√2/2即a^2=2c^2;所以：b^2=a^2-c^2=2c^2-C^2=C^2
椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>o)经过点A(2,1),那么4/2c^2+1/c^2=1;解得：c^2=3
所以：a^2=6,b^2=3椭圆为：x^2/6+y^2/3=1
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2);因为点B(3,0在椭圆外，所以直线l的斜率一定存在；
设直线l 的方程为：y=k(x-3)代入椭圆方程中得：（1+2k^2)x^2-12k^2x+18k^2-6=0
由判别式>0得： -1<k<1
x1+x2=12k^2/(1+2k^2); x1x2=(18k^2-6)/(1+2k^2)
|BM|×|BN|=√(1+k^2)|x1-3| √(1+k^2)|x2-3|=(1+k^2)|(x1-3)(x2-3)|=(1=k^2)|x1x2-3(x1+x2)+9|
=3(1+k^2)/(1+2k^2)=(3/2)[1+1/(1+2k^2)]
由-1<k<1得|BM|×|BN|的范围是：(2.3]
(3)kAM=(y1-1)/(x1-2)=(kx1-3k-1)/(x1-2);kAN=(y2-1)/(x2-1)=(kx2-3k-1)/(x2-2)
所以kAM+KAN=(kx1-3k-1)/(x1-2)+(kx2-3k-1)/(x2-2)化简即可

追问

麻烦这位才高八斗的数学高手能帮我解答完这道困扰我好久的数学题，再化简证明一下。

Answer 2

留个邮箱吧，我发文件给你
这里上传图片的话，图片不够大，打字的话我怕字母多打乱...

追问

答案已经有人得出了，所以不用麻烦了，但还是要谢谢你。