Question

（2014?泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M

（2014?泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Answer 1

（1）解：
∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，

∠DCF＝∠AMF∠MFA＝∠CFDDF＝AF
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD与MC垂直。
解：
∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，∠MFC=90°
∵FD=EF，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．

Answer 2

解答：（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，

∠DCF＝∠AMF ∠MFA＝∠CFD DF＝AF

，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM；

（2）AD⊥MC，
理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC．